Bất đẳng thức Cô si

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện ganh đua vô lớp 10

Bất đẳng thức Cô si là 1 dạng toán nâng lên với trong những đề ganh đua tuyển chọn sinh vô lớp 10 môn Toán. Để hùn những em nắm rõ kiến thức và kỹ năng phần này, VnDoc gửi cho tới chúng ta tư liệu Bất đẳng thức Cô si. Tài liệu bao hàm một trong những kiến thức và kỹ năng lưu ý về bất đẳng thức Cauchy, kèm cặp Từ đó là những bài xích tập luyện cơ phiên bản và nâng lên về bất đẳng thức Cô si, cho những em ôn tập luyện, sẵn sàng kĩ lưỡng mang lại kì ganh đua cần thiết tiếp đây.

Bạn đang xem: bất đẳng thức cosi lớp 9

Bản quyền thuộc sở hữu VnDoc.
Nghiêm cấm từng mẫu mã sao chép nhằm mục tiêu mục tiêu thương nghiệp.

I. Một số kiến thức và kỹ năng lưu ý về bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

1. Phát biểu

+ Bất đẳng thức Cô si của n số thực ko âm được tuyên bố như sau: Trung bình nằm trong của n số thực ko âm luôn luôn to hơn hoặc vị tầm nhân của bọn chúng và vệt vị xẩy ra Lúc và chỉ Lúc n số bại liệt đều nhau.

+ Nghĩa là:

- Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực ko âm:

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b

- Bất đẳng thức Cô si với n số thực ko âm:

$\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n}$

2. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Cô si) với 2 số thực a và b ko âm

+ Với a = 0, b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn trực tiếp chính. Với a, b > 0, tớ bệnh minh:

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \end{array}$

Suy rời khỏi bất đẳng thức luôn luôn chính với từng a, b ko âm

3. Hệ trái ngược của bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

+ Hệ trái ngược 1: nếu như tổng nhị số dương ko thay đổi thì tích của bọn chúng rộng lớn nhất lúc nhị số bại liệt vị nhau

+ Hệ trái ngược 2: nếu như tích nhị số dương ko thay đổi thì tổng của của nhị số này nhỏ nhất lúc nhị số bại liệt vị nhau

II. Bài tập luyện về bất đẳng thức Cô si lớp 9

Bài 1: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $A = x + \frac{7}{x}$ với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang lại nhị số x > 0 và tớ có:

$x + \frac{7}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{7}{x}} = 2\sqrt 7$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc $x = \frac{7}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7$ (do x > 0)

Vậy min $A = 2\sqrt 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7$

Bài 2: Cho x > 0, hắn > 0 thỏa mãn nhu cầu ĐK $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ . Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức $A = \sqrt x + \sqrt y$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang lại nhị số x > 0, hắn > 0 tớ có:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ge \frac{2}{{\sqrt {xy} }} \Leftrightarrow \sqrt {xy} \ge 4$

Lại với, vận dụng bất đẳng thức Cô si mang lại nhị số x > 0, hắn > 0 tớ có:

$\sqrt x + \sqrt hắn \ge 2\sqrt {\sqrt {xy} } = 2\sqrt 4 = 4$

Xem thêm: hành trình vạn dặm bắt đầu từ một bước chân

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc $\left\{ \begin{array}{l} x = y\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = hắn = 4$

Vậy minA = 4 Lúc và chỉ Lúc x = hắn = 4

Bài 3: Chứng minh với tía số a, b, c ko âm thỏa mãn nhu cầu a + b + c = 3 thì:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}$

Nhận xét: Bài toán đạt được vệt vị Lúc và chi Lúc a = b = c = 1. Ta tiếp tục dùng cách thức thực hiện trội thực hiện tách như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang lại tía số a, b, c ko âm có:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{a}{{b + c}}.\frac{{b + c}}{4}.\frac{1}{{2a}}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = \frac{3}{2}$

Tương tự động tớ với $\frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} \ge \frac{3}{2}$ và $\frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge \frac{3}{2}$

Cộng vế với vế tớ có:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge 3.\frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{4} + \frac{{ab + bc + ca}}{{2abc}} \ge \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b + c}}{2} + \frac{{a + b + c}}{2} \ge \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b = c = 1

III. Bài tập luyện về bất đẳng thức Cô si

Bài 1: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của những biểu thức sau:

a, $B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x}$ với x > 0

(gợi ý: chuyển đổi $B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x} = \frac{{{x^2} + 13x + 36}}{x} = x + 13 + \frac{{36}}{x}$ rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

b, $C = \frac{{{{\left( {x + 10} \right)}^2}}}{x}$ với x > 0

c, $D = \frac{x}{3} + \frac{3}{{x - 2}}$ với x > 2

(gợi ý: chuyển đổi rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $P = x + \frac{1}{y} + \frac{4}{{x - y}}$ với x > hắn > 0

(gợi ý: chuyển đổi $P = x - hắn + \frac{4}{{x - y}} + hắn + \frac{1}{y}$ )

Bài 3: Với a, b, c là những số thực ko âm, bệnh minh:

$\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9$

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô si mang lại tía số a, b, c ko âm)

Bài 4: Cho tía số thực dương a, b, c thỏa mãn nhu cầu a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} + \frac{{a + b}}{c} \ge 6$

(gợi ý dùng cách thức thực hiện trội)

-------------------

Xem thêm: soạn phong cách hồ chí minh

Trên trên đây VnDoc.com vừa phải gửi cho tới độc giả nội dung bài viết Bất đẳng thức Cô si. Tài liệu hùn chúng ta học viên ôn tập luyện những kiến thức và kỹ năng, sẵn sàng cho những bài xích ganh đua học tập kì và ôn ganh đua vô lớp 10 hiệu suất cao nhất.

Ngoài những dạng Toán 9 ôn ganh đua vô lớp 10 bên trên, chào chúng ta học viên tìm hiểu thêm những đề ganh đua học tập kì 2 lớp 9 và những tư liệu Thi vô lớp 10 bên trên VnDoc nhé. Với tư liệu này hùn chúng ta tập luyện tăng tài năng giải đề và thực hiện bài xích đảm bảo chất lượng rộng lớn. Chúc chúng ta ôn ganh đua tốt!

Để tiện trao thay đổi, share kinh nghiệm tay nghề về giảng dạy dỗ và tiếp thu kiến thức những môn học tập lớp 9, VnDoc chào những thầy giáo viên, những bậc bố mẹ và chúng ta học viên truy vấn group riêng rẽ giành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện ganh đua lớp 9 lên 10 . Rất hòng cảm nhận được sự cỗ vũ của những thầy cô và chúng ta.