chứng minh đường trung trực

§7. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRƯNG TRựC
CỦA MÔT ĐOAN THANG
A. Tóm chất lượng tốt con kiến thức
Định nghĩa đàng trung trực
Đường trung trực của một quãng trực tiếp là đường thẳng liền mạch vuông góc với đoạn trực tiếp ấy bên trên trung điểm của chính nó.
Trong hình 3.67, d là đàng trung trực của đoạn trực tiếp AB.
Hình 3.67
Ta cũng nói: A đối xứng với B qua quýt d.
Định lí 1
Điểm phía trên đàng trung trực của một quãng thảng thì cơ hội đều nhị mút của đoạn trực tiếp bại liệt.
Định lí 2. Điểm cơ hội đều nhị mút của một quãng trực tiếp thì phía trên đàng trung trực của đoạn trực tiếp bại liệt.
MA = MB => M nằm trong đàng trung trực của AB.
Tập hợp ý những điểm cơ hội đều nhị mút của một quãng trực tiếp là đàng trung trực của đoạn trực tiếp bại liệt.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho tam giác ABC (AB = AC; A > 90° ). Vẽ đàng trung trực của những cạnh AB, AC hạn chế những cạnh này ứng bên trên I, K và hạn chế BC thứu tự bên trên D và E.
Các tam giác ABD và AEC là tam giác gì?
Gọi o là kí thác điểm của ID và KE. Chúng minh AO± BC.
Giải, (h.3.68)
Vì , ID là đàng trung trực cua cạnh AB nên DA = DB bởi vậy tam giác ABD cân nặng bên trên D.
Vì EK là đàng trung trực của cạnh AC nên
EA = EC bởi vậy tam giác AEC cân nặng bên trên E.
b) Do o nằm trong đàng trung trực của AB nên OA = OB. Mặt không giống o nằm trong đàng trung trực của AC suy rời khỏi OA = oc.
Vậy OB = oc hoặc o nằm trong đàng trung trực của BC.
Mà AB - AC nên A nằm trong đàng trung trực của BC, bởi vậy AO là đàng trung trực của BC suy rời khỏi AO ± BC.
Nhận xét
Bài toán vẫn áp dụng đặc thù điểm phía trên đàng trung trực thì cơ hội đều nhị đầu đoạn trực tiếp nhằm chứng tỏ nhị đoạn trực tiếp đều nhau.
Bài toán tiếp tục khó khăn rộng lớn nếu như chỉ mất câu b.
c. Hương dẫn giải bài xích tạp vô sách giáo khoa
p '
s.
X
/
V
/
X
/
X
/ị
X
/
X
/
X
/
X
/
X
X
✓
X
z
X
z
X
z
X
z
\
z
X
z
■-X .
Z--
_x
z
Q
Bài 44. Giải. Theo quyết định lí thuận tớ đem MB = 5cm.
Bài 45. Giải, (h.3.69) PM = PN => p nằm trong đàng trung trực của đoạn thảng MN.
QM = QN =>Q nằm trong đàng trung trực của đoạn thảng MN.	M
Vậy PQ là đàng trung trực của MN.
Nhận xét. Ta đạt thêm cách thức chứng tỏ một đường thẳng liền mạch là đàng trung trực của đoạn thẳng: Nếu nhị điểm
p, Q phân biệt nằm trong cơ hội đều nhị điểm A, B thì đường thẳng liền mạch PQ là đàng trung trực của đoạn thắng AB.
Bài 46. Gidi. (h.3.70) AB = AC => A nằm trong đàng trung trực của đoạn thắng BC.
DB = DC => D nằm trong đàng trung trực của đoạn thảng BC.
EB = EC => E nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp BC.
E
Hình 3.70
Vậy phụ thân điểm A, D, E trực tiếp sản phẩm.
B
Bài 47.
Bài 48.
Nhận xét. Chúng tớ đạt thêm một cách thức chứng tỏ phụ thân điểm thảng hàng: Ba điểm nằm trong lệ thuộc đàng trung trực của một quãng trực tiếp thì trực tiếp sản phẩm.
Giai, (h.3.71) M nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp AB suy rời khỏi MA = MB.
N nằm trong đàng trung trực cúa đoạn trực tiếp AB suy rời khỏi NA = NB.
Vậy AAMN = ABMN (c.c.c).
Gieii. (h.3.72) I nằm trong đàng trung trực cúa đoạn trực tiếp ML suy rời khỏi IM = IL.
Do bại liệt IM + IN = IL + IN >LN (theo bất đẳng thức tam giác).	
Dấu "=" xẩy ra Khi I là kí thác điểm của xy
Hình 3.71
Bài 49.
MA + MB = ME + MB > BE (1).
với LN.
Nếu M trùng với c thì
MA + MB = CA + CB = CE + CB = BE (2).
So sánh (1) và (2) tớ thấy điểm c ở địa điểm là kí thác điểm của bờ sông với đường thẳng liền mạch nối điểm đối xứng của A qua quýt sông với B thì đường ống dẫn dẫn nước cần người sử dụng là nhanh nhất.
Bài 50. Giải, (h.3.74) Đường trung trực của đoạn trực tiếp nối nhị điểm dân sinh sống A và B hạn chế đàng quốc lộ bên trên c, này là vị trí - cần thiết dò la. Thật vậy c nằm trong đàng trung trực của AB nên CA = CB.
Bài 51. Giải, (h.3.75)
Chứng minh kiểu vẽ này là đúng:
PA = PB => p nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp AB.
AC = BC => c nằm trong đàng trung trực cứa đoạn thắng AB.
Vậy PC là đàng trung trực của đoạn trực tiếp AB, suy rời khỏi PC ± AB, tức là •PC 1 d.
Một cách tiếp theo (h.3.76):
Lấy điểm A bất kì nằm trong d, vẽ đàng tròn xoe (A; AP).
Lấy điểm B bất kì nằm trong d, vẽ đàng tròn xoe (B; BP).
Hai đàng tròn xoe hạn chế nhau ở điểm loại nhị Q. Đường thắng PQ vuông góc với d.
Thật vậy:
AP = AQ => A nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp PQ.
BP = BQ => B nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp PQ.
Vậy AB là đàng trung trực của PQ suy rời khỏi PQ 1 AB.
D. Bài tạp luyện thêm
c
Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A. về phía ngoài của tam giác ABC vẽ những tam giác đều ABD, ACE. a) Chứng minh BE = CD.
Kẻ đàng phân giác AF của tam giác ABC. Chứng minh BE, CD, AF đồng quy.
Cho đoạn trực tiếp BC đem I là trung điểm. Trên đàng trung trực của BC lấy điểm A không giống I.
Chứng minh A ABI = AACI;
Kẻ IH _L AB, IK ± AC. Chứng minh tam giác AHK cân;
Chứng minh KH // BC.
Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ BD± AC; CE-L AB. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh M nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp DE.
Cho tam giác ABC nhọn, kẻ AH ± BC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao mang đến HE = HA. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao mang đến XiaoMi MI = MA. Chứng minh BE = CI.
Cho tam giác ABC đem AB < AC. Đường trung trực của đoạn trực tiếp BC hạn chế AC bên trên M.
Chứng minh AM + BM = AC.
Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp sô
AE = AD*	Hình 3.77
=> A ABE = A ACD (c.g.c) =í> BE = CD.
b) AABE= AACD=>cỊ = Bj .
1
Mà tam giác ABC cân nặng nên ABC = Ngân Hàng Á Châu ACB => B2 = c2 => tam giác ABO cân nặng => OB = oc o nằm trong đàng trung trực của BC (1).
Tam giác ABC đem AF là đàng phân giác =>ẠF là đàng trung trực (2).
Từ (1) và (2) suy rời khỏi phụ thân đường thẳng liền mạch AF, BE, CD đồng quy.
(h.3.78)
A AB] = AACI (c.g.c).'
Tam giác ABC cân nặng (AB = AC) => A. = A-> .
A
=> AH = AK => tam giác AHK cân nặng bên trên A.
AH = AK => A nằm trong đàng trung trực của HK.
IH = IK => I nằm trong đàng trung trực cúa HK.
=7 AI là đàng trung trực của HK => AI ± HK .
Mặt không giống, AI là đàng trung trực của BC => AI ± BC
(h.3.79) Tam giác BDC đem BDC = 90°;
BM = MC nên DM là đàng trung tuyến ứng với cạnh huyền bởi vậy DM = BC .
Tam giác BEC có
HK // BC.
M
Hình 3.79
BEC = 90° và BM = MC
nên EM là đàng trung tuyến ứng với cạnh huyền suy rời khỏi EM = -^-BC .
Do bại liệt DM = EM, vậy M nằm trong đàng trung trực của DE.
Nhận XiT'Muon chứng tỏ một điểm nằm trong đàng trung trực của một quãng thảng, tớ chỉ việc chứng tỏ điểm bại liệt cơ hội đều nhị đầu đoạn trực tiếp bại liệt.
(h.3.80) AABM = AICM (c.g.c)
=>AB = CI (1).
AE 1BH, HA = HE nén BH là đàng trung trực của đoạn thắng AE
BE = AB (2).
Từ(l)và (2) tớ CÓ BE = CI.
(h.3.81) M nằm trong trung trực của BC
=> BM = MC.
Do bại liệt AM + BM = AM + MC =>AM + BM = AC.