Khái niệm, tính chất, cách chứng minh và bài tập

Tam giác cân nặng là 1 loại tam giác đem tối thiểu nhì cạnh đều bằng nhau và nhì góc ở lòng cân đối nhau. Vậy công thức tính diện tích S tam giác cân nặng như vậy nào? Tính hóa học tam giác cân nặng là gì? Mời chúng ta nằm trong theo đòi dõi nội dung bài viết sau đây của Download.vn.

Tam giác cân nặng là 1 trong mỗi kiến thức và kỹ năng cần thiết nhập hình học tập 7 và quan trọng trong những bài bác tập luyện tương quan cho tới hình tam giác. Hi vọng qua chuyện bài học kinh nghiệm thời điểm hôm nay chúng ta học viên lớp 7 nắm rõ định nghĩa tam giác cân nặng là gì, tín hiệu nhận ra và một vài đặc thù tương quan tất nhiên phương pháp tính diện tích S tam giác cân nặng. Ngoài ra chúng ta coi tăng tài liệu: tâm lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác.

Bạn đang xem: chứng minh tam giác cân

1. Định nghĩa tam giác cân

Tam giác cân là tam giác đem nhì cạnh đều bằng nhau, nhì cạnh này được gọi là nhì cạnh mặt mũi. Đỉnh của một tam giác cân nặng là phú điểm của nhì cạnh mặt mũi. Góc được tạo nên vì chưng đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, nhì góc còn sót lại gọi là góc ở lòng.

Ở hình bên trên, tam giác ABC đem AB = AC suy rời khỏi tam giác ABC cân nặng.

Có AB và AC là nhì cạnh mặt mũi nên tam giác ABC cân nặng bên trên đỉnh A.

2. Tính hóa học tam giác cân

Tam giác cân nặng đem 4 đặc thù sau đây:

Tính hóa học 1: Trong một tam giác cân nặng nhì góc ở lòng đều bằng nhau.

Chứng minh:

Giả thiết	Tam giác ABC cân nặng bên trên A, AB = AC
Kết luận	$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Trong tam giác cân nặng ABC, gọi AM là tia phân giác của góc

Khi tê liệt tớ đem $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (gt)

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (cmt)

AM chung

Suy tớ ΔABM = ΔACM (c.g.c) (đpcm)

Tính hóa học 2: Một tam giác đem nhì góc đều bằng nhau thìa là tam giác cân nặng.

Chứng minh

Giả thiết	Tam giác ABC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
Kết luận	Tam giác ABC cân nặng bên trên A

Trong tam giác ABC, gọi AM là tia phân giác của

Tam giác ABM đem $\widehat{ABM} + \widehat{AMB} + \widehat {BAM} = 180^0$ (tổng 3 góc nhập một tam giác)

Tam giác ACM đem $\widehat{ACM}+\widehat{CAM} + \widehat{CMA} = 180^0$ (tổng 3 góc nhập một tam giác)

Mà lại sở hữu $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

nên $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

$\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$

$\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

$\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$

Suy rời khỏi ΔABM = ΔACM (g - g - g) nên AB = AC (cạnh ứng vì chưng nhau)

Xét tam giác ABC đem AB = AC, suy rời khỏi tam giác ABC cân nặng bên trên A (định nghĩa)

Tính hóa học 3: Trong một tam giác cân nặng, lối trung trực ứng với cạnh lòng mặt khác là lối phân giác, lối trung tuyến, lối cao của tam giác tê liệt.

Tính hóa học 4: Trong một tam giác, nếu như mang trong mình 1 lối trung tuyến mặt khác là lối trung trực thì tam giác là tam giác cân nặng.

3. Dấu hiệu nhận ra tam giác cân

Trong tam giác cân nặng đem 2 tín hiệu nhận ra tê liệt là:

Dấu hiệu 1: Nếu một tam giác đem nhì cạnh mặt mũi đều bằng nhau thì tam giác này đó là tam giác cân nặng.
Dấu hiệu 2: Nếu một tam giác đem nhì góc đều bằng nhau thì tam giác này đó là tam giác cân nặng.

4. Diện tích tam giác cân

Diện tích tam giác cân đối Tích của độ cao nối kể từ đỉnh tam giác tê liệt cho tới cạnh lòng tam giác, tiếp sau đó phân tách mang đến 2.

- Công thức tính diện tích S tam giác cân: S = (a x h)/ 2

Trong đó:

a: Chiều lâu năm lòng tam giác cân nặng (đáy là 1 nhập 3 cạnh của tam giác)
h: Chiều cao của tam giác (chiều cao tam giác vì chưng đoạn trực tiếp hạ kể từ đỉnh xuống đáy).

5. Cách chứng minh tam giác cân

– Cách 1: Chứng minh tam giác tê liệt đem nhì cạnh đều bằng nhau.

– Cách 2: Chứng minh tam giác tê liệt đem nhì góc đều bằng nhau.

Ví dụ 1: Trong tam giác ABC đem Δ ABD = Δ ACD . Chứng minh tam giác ABC cân nặng.

+ Chứng minh Theo phong cách 1:

Theo bài bác rời khỏi, tớ có:

Δ ABD = Δ ACD

=> AB = AC

=> Tam giác ABC cân nặng bên trên A

+ Chứng minh Theo phong cách 2:

Theo bài bác rời khỏi, tớ có:

∆ ABD = ∆ ACD

=> Góc B = C

=> Tam giác ABC cân nặng bên trên A

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A. Lấy điểm D nằm trong cạnh AC, điểm E nằm trong cạnh AB sao mang đến AD = AE

a) So sánh góc ABD và ACE

b) Gọi I là phú điểm của BD và CE. ΔIBC là tam giác gì ? Vì sao ?

Gợi ý đáp án

a) Tam giác ABC cân nặng bên trên A (giả thiết)

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} AB = AC \hspace{0,2cm} \\ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} \hspace{0,2cm}\end{array} \right.$

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC (giả thiết)

$\widehat{A}$ chung

AD = AE (giả thiết)

⇒ ΔABD = ΔACE (cạnh - góc - cạnh)

⇒ $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (cặp góc tương ứng)

b) ΔIBC có:

$\begin{align*}\widehat{IBC} &= \widehat{ABC} - \widehat{ABD} \\&= \widehat{ACB} - \widehat{ACE} \hspace{0,2cm} (\text{vì} \widehat{ABC} = \widehat{ACB}; \widehat{ABD} = \widehat{ACE}) \\&= \widehat{ICB}\end{align*}$

⇒ ΔIBC cân nặng bên trên I

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A và những điểm E, F thứu tự phía trên những cạnh AC, AB sao mang đến BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Bài 4.23

Gợi ý đáp án:

Do tam giác ABC cân nặng bên trên A nên: $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (tính hóa học tam giác cân)

Xét 2 tam giác vuông BFC và CEB:

$\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$

BC chung

$=>\Delta BFC = \Delta CEB$ (cạnh huyền – góc nhọn)

=>BE=CF (2 cạnh tương ứng).

Ví dụ 4

Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A và M là trung điểm của đoạn trực tiếp BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Gợi ý đáp án:

Bài 4.24

Xét 2 tam giác AMC và AMB có:

AM chung

AB=AC (do tam giác ABC cân nặng bên trên A)

MB=MC (gt)

$\Rightarrow \Delta AMB=AMC(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat {CAM} = \widehat {CBM}$ (2 góc tương ứng)

$\Rightarrow AM$ là phân giác của góc BAC

Mặt khác: $\widehat {AMB} = \widehat {AMC}$ (2 góc tương ứng) nhưng mà $\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}$ (2 góc kề bù)

Nên: $\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = {90^o}$ .

Vậy AM vuông góc với BC.

Ví dụ 5

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn trực tiếp BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân nặng bên trên A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân nặng bên trên A.

Gợi ý đáp án:

Bài 4.25

Xét 2 tam giác vuông AMC và AMB có:

AM chung

BM=CM (gt)

$=>\Delta AMB = \Delta AMC (c.g.c)$

=> AM=BM (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác ABM cân nặng bên trên A

Bài 4.25

Kẻ MH vuông góc với AB (H nằm trong AB)

MG vuông góc với AC (G nằm trong AC)

Xét 2 tam giác vuông AHM và AGC có:

$\widehat {HAM} = \widehat {GAM}$

AM chung

$=>\Delta AHM = \Delta AGC$ (cạnh huyền – góc nhọn)

=> HM=GM (2 cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông BHM và CGM có:

BM=CM(gt)

MH=MG(cmt)

$=>\Delta BHM = \Delta CGM$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$=>\widehat {BMH} = \widehat {CMH}$ (2 góc tương ứng)

=>Tam giác ABC cân nặng bên trên A.

Ví dụ 6

Tam giác vuông đem nhì cạnh đều bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân nặng.

Hãy phân tích và lý giải những xác minh sau:

a) Tam giác vuông cân nặng thì cân nặng bên trên đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân nặng đem nhì góc nhọn vì chưng 45°;

c) Tam giác vuông mang trong mình 1 góc nhọn vì chưng 45° là tam giác vuông cân nặng.

Gợi ý đáp án:

a) Do tổng tía góc trong một tam giác vì chưng 180 phỏng nên tam giác ko thể đem 2 góc vuông

=>Tam giác vuông cân nặng sẽ sở hữu được 2 góc nhọn vì chưng nhau

=> Tam giác vuông cân nặng thì cân nặng bên trên đỉnh góc vuông.

b) Giả sử nhì góc nhọn nhập tam giác vuông là x, tớ có:

$\begin{array}{l}x + x + {90^o} = {180^o}\\ \Rightarrow 2x = {90^o}\\ \Rightarrow x = {45^o}\end{array}$

Vậy tam giác vuông cân nặng đem nhì góc nhọn vì chưng 45°.

c) Gọi góc còn sót lại của tam giác vuông có một góc nhọn vì chưng 45° là x, tớ có:

$x + {45^o} + {90^o} = {180^o} \Rightarrow x = {45^o}$

Vậy tam giác vuông mang trong mình 1 góc nhọn vì chưng 45° là tam giác vuông cân nặng.

Xem thêm: soạn một thời đại trong thi ca

Ví dụ 7

Cho hình 14, biết ED = EF và EI là tia phân giác của $\widehat{DEF}$ .

Chứng minh rằng:

a. $\Delta EID = \Delta EIF$

b. Tam giác DIF cân nặng.

Hình 14

Gợi ý đáp án:

a. Xét $\Delta EID$ và $\Delta EIF$ có:

EI chung

$\widehat{DEI} = \widehat{IEF}$

DE = EF.

$\Rightarrow \Delta EID = \Delta EIF (c.g.c)$

b. Vì $\Delta EID = \Delta EIF$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ID = IF$

$\Rightarrow$ Tam giác DIF cân nặng bên trên I.

Ví dụ 8

Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A đem $\widehat{A} = 56^{0}$

Hình 15

a. Tính $\widehat{B}, \widehat{C}$ .

b. Gọi M, N thứu tự là trung điểm của AB, AC. Chứng minh tam giác AMN cân nặng.

c. Chứng minh rằng MN // BC.

Gợi ý đáp án:

a. Vì tam giác ABC cân nặng bên trên A $\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = (180^{0} - 56^{0}) : 2 = 62^{0}$

b. Vì M, N thứu tự là trung điểm của AB, AC nên $AM = MB = \frac{AB}{2}, AM = MC = \frac{AC}{2}$

mà AB = AC ( vì thế $\Delta ABC$ cân)

$\Rightarrow AM = AN$

$\Rightarrow$ Tam giác AMN cân nặng bên trên A.

c. Xét $\Delta AMN$ cân nặng bên trên A có: $\widehat{AMN} = \frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$

Xét $\Delta ABC$ cân nặng bên trên A có: $\widehat{ABC} = \frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{ABC}$

Mà 2 góc này ở địa điểm đồng vị

$\Rightarrow MN // BC$ .

6. Bài tập luyện tam giác cân

A. Trắc nghiệm

Bài 1: Chọn câu sai

A. Tam giác đều sở hữu tía góc đều bằng nhau va vấp vì chưng 60°

B. Tam giác đều sở hữu tía cạnh đều bằng nhau.

C. Tam giác cân nặng là tam giác đều.

D. Tam giác đều là tam giác cân nặng.

Gợi ý

Tam giác đều là tam giác đem tía cạnh vì chưng nhau

Trong tam giác đều, từng góc vì chưng 60°

Tam giác đều cũng chính là tam giác cân nặng tuy nhiên tam giác cân nặng ko chắc chắn là tam giác đều

Chọn đáp án C.

Bài 2: Hai góc nhọn của tam giác vuông cân nặng bằng

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân đối 45°

Chọn đáp án B.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A. Chọn tuyên bố sai

$A. \widehat{B}=\widehat{C}$

$B. \widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}$

$C. \hat{A}=180^{\circ}-2 \widehat{C}$

$D. \hat{B} \neq \widehat{C}$

Gợi ý

Do tam giác ABC cân nặng bên trên A nên ∠B = ∠C

Do tê liệt đáp án D sai

Chọn đáp án D.

Bài 4: Một tam giác cân nặng đem góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc lòng bằng?

A. 54°

B. 58°

C. 72°

D. 90°

Gợi ý

Góc ở đỉnh là $\widehat{A}=180^{\circ}-2 \widehat{C}$ , góc ở lòng là $\widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}$

Áp dụng công thức số đo ở lòng là: $\frac{180^{\circ}-64^{\circ}}{2}=58^{\circ}$

Chọn đáp án B.

Bài 5: Một tam giác cân nặng đem góc ở lòng vì chưng 70° thì góc ở đỉnh vì chưng bao nhiêu?

A. 64°

B. 53°

C. 70°

D. 40°

Góc ở đỉnh là $\hat{A}=180^{\circ}-2 \widehat{C}$ góc ở lòng là $\widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}$

Áp dụng công thức số đo ở đỉnh là: 180° - 2.70° = 40°

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho tam giác cân nặng ABC cân nặng tại A có $\hat{A}$ = 50 . Tính số đo của $\hat{B}$ và $\hat{C}$ .

A. $\hat{B}$ = $\hat{C}$ = 50

B. $\hat{B}$ = $\hat{C}$ = 60

C. $\hat{B}$ = $\hat{C}$ = 65

D. $\hat{B}$ = $\hat{C}$ = 70

Câu 7: Cho tam giác MNP cân nặng tại M có $\hat{N}$ = 70 . Tính số đo của $\hat{M}$ . Câu nào tại đây đúng:

A.40

B.48

C.52

D.60

Câu 8: CHo tam giác ABC cân nặng tại A. lấy điểm M thuộc canh AB và N thuốc cjanh AC sao mang đến AM=AN. Gọi I là phú điểm của BN và CM. Câu nào tại đây sai:

A.BM=CN

B.BN=CM

C. Δ A M N là tam giác cân

D.A,B đúng, C sai

Câu 9: Với đề bài câu bên trên, tam giác BIC là tam giác gì?

A.Tam giác vuông

B.Tam giác cân

C.Tam giác vuông cân

D.A,B,C đều sai

Câu 10: Cho tam giác ABC, về phía ngoài Δ A B C vẽ nhì tam giác đều ABH và ACK. So sánh đoạn thẳng BK và CH

A.BK=CH

B.BK<CH

C.BK>CH

Câu 11: Một tam giác cân nặng đem góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc lòng bằng?

A. 54°

B. 58°

C. 72°

D. 90°

Câu 12: Một tam giác cân nặng đem góc ở lòng vì chưng 70° thì góc ở đỉnh vì chưng bao nhiêu?

A. 64°

B. 53°

C. 70°

D. 40°

B. Tự luận

Bài 1. Cho $\triangle$ ABC cân nặng bên trên A đem $\widehat{A}=70^{\circ}$ . Tính số đo những góc B và C.

Bài 2. Cho $\triangle$ ABC cân nặng bên trên A đem $\widehat{A}=120^{\circ}$ . Tính số đo những góc B và C.

Bài 3. Cho $\Delta M N P$ cân nặng bên trên Phường đem $\hat{P}=70^{\circ}$ . Tính số đo những góc $\mathrm{M} và \mathrm{N}.$

Bài 4. Cho $\triangle$ ABC vuông cân nặng bên trên A đem . Tính số đo những góc B và C.

Bài 5. Cho $\triangle$ ABC cân nặng bên trên A đem $\hat{B}=30^{\circ}.$ Tính số đo những góc A và C.

Bài 6. Cho $\Delta M E F$ cân nặng tai $\mathrm{M} đem \widehat{E}=70^{\circ}$ . Tính số đo những góc M và F

Bài 7. Cho $\Delta Phường Q R$ cân nặng tai Q đem $\hat{R}=42^{\circ}$ . Tính số đo những góc Phường và Q

Bài 8. Cho $\triangle$ ABC vuông cân nặng bên trên A. Trên tia đối của tia B C lấy điểm D sao mang đến B D=A B. Tính số đo góc ADB.

Bài 9. Cho $\triangle A B C$ cân nặng bên trên A đem $\widehat{A}=70^{\circ}$ . Hai tia phân giác góc B và C hạn chế nhau bên trên I. Tính Bài số đo góc BIC.

Bài 10. Cho $\triangle$ ABC cân nặng bên trên A đem . Hai tia phân giác góc B và C hạn chế nhau tai I, biết số đo $\widehat{B I C}=120^{\circ}$ . Tính số đo góc A.

Bài 11. Cho tam giác $\triangle$ ABC cân nặng bên trên A đem $\widehat{\mathrm{A}}=80^{\circ}$ . Tia phân giác góc B hạn chế AC tai I. Tính số đo góc BIC

Bài 12: Cho góc nhọn xOy. Điểm H phía trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng những lối vuông góc xuống nhì cạnh Ox và Oy (A nằm trong Ox và B nằm trong Oy).

a) Chứng minh tamgiác HAB là tamgiác cân

b)Dlà hình chiếu của điểm A bên trên Oy, C là phú điểm của AD với O. Chứng minh BC ⊥ Ox.

c) Khi góc xOy vì chưng 60⁰, minh chứng OA = 2O

Bài 13: Cho ∆ABC cân nặng bên trên A và hai tuyến đường trung tuyến BM, công nhân hạn chế nhau bên trên K.

a) Chứng minh rBNC = rCMB

b) Chứng minh ∆BKCcân bên trên K

c) Chứngminh BC < KM

Bài 14: Cho ∆ ABC vuông bên trên A đem BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ). Gọi F là phú điểm của AB và DE. Chứng minh rằng

Xem thêm: lặng lẽ sa pa soạn

a) BD là trung trực của AE

b) DF = DC

c) AD < DC; d) AE // FC.