công thức tính cấp số nhân

Cấp số nhân là phần kiến thức và kỹ năng cần thiết nhập công tác toán trung học phổ thông. Trong số đó, những công thức cấp cho số nhân khá phức tạp. Vì vậy, nhằm thực hiện bài xích tập dượt thì những em cần thiết ghi lưu giữ và biết phương pháp áp dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại những công thức và bài xích tập dượt cấp cho số nhân qua quýt nội dung bài viết tại đây.

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một trong mặt hàng số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhì, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng tức thì trước nó với một trong những ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp cho số nhân). Có nghĩa là:

Bạn đang xem: công thức tính cấp số nhân

u_{n} là cấp cho số nhân với \Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1} với n \in N^{\ast }

Ví dụ: Dãy số (u_{n}), với u_{n}=3^{n} là một trong cấp cho số nhân với số hạng đầu u_{1}=3 và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cấp cho số nhân un có 

Công bội q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân u_{1}=3,u_{2}=9. Tính công bội q

Ta có: 

q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân u_{3}=8,u_{4}=16 . Tính công bội q

Ta có: 

q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2

3. Tính hóa học cấp cho số nhân

  • $(u_{n})$ là một trong cấp cho số nhân thì kể từ số hạng loại nhì, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cấp cho số nhân hữu hạn) tiếp tục vị tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}

  • Nếu một cấp cho số nhân un đem số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát lác un sẽ tiến hành tính vị công thức:

u_{n}=u_{1}.q^{n-1}

Ví dụ : Cho cấp cho số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0. 

Biết u1 = 1; u3 =3. Hãy lần u4

Lời giải: 

Ta có: u2= u. u= 3

          u3= u. u4

Từ (1) vì thế u2  > 0 ( vì như thế u1=1 > 0 và q > 0)

\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}

  • Khi q = 0 thì mặt hàng đem dạng u1; 0;0…;0;… và Sn=u1 

  • Khi q = 1 thì mặt hàng đem dạng u1;u1;u1;...;u1;... và Sn=nu1.

  • Khi u= 0 thì với từng q, cấp cho số nhân đem dạng 0; 0; 0;…; 0;… và Sn=u1.

Đăng ký tức thì nhằm được trao trọn vẹn cỗ kiến thức và kỹ năng về cấp cho số nhân

4. Tổng hợp ý những công thức tính cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

  • Tính q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1

  • Kết luận: 

  • Nếu q là ko thay đổi thì mặt hàng un là cấp cho số nhân

  • Nếu q thay cho thay đổi thì mặt hàng un ko là cấp cho số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp cho số nhân đem số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng thứ nhất.

Lời giải: 

Ta đem 6 số hạng thứ nhất là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân Un đem số hạng loại nhì là 10 và số hạng loại năm là 1250.

  1. Tìm số hạng loại nhất

  2. Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

  1. Đặt r là công bội của cấp cho số nhân.

 Ta có: r(5-2) = r3 hoặc r3 = 1250 : 10 = 125 = 53. Từ ê r = 5. 

\Rightarrow u1=10=5=2. 

Số hạng loại nhất là 2 

  1. 2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài cho tới cấp cho số nhân Un thỏa mãn: u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}. Dãy số Un bên trên là cấp cho số nhân chính hoặc sai? 

Lời giải: 

Ta có: \frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const không tùy thuộc vào n. Vậy mặt hàng số (Un) là một trong cấp cho số nhân với số hạng đầu u_{1}=3\sqrt{3} và công bội là q=\sqrt3

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp cho số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc thù của CSN, thay đổi nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân Un đem U1 = 2, U2 = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tớ có: q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân Un đem U1 = 3, U2 = -6. Tính công bội q.

Lời giải: 

Từ công thức tớ có: 

q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2

Ví dụ 3: Đề cho tới phụ vương số x,y,z lập trở nên một cấp cho số nhân và phụ vương số x, 2y, 3z lập trở nên một cấp cho số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải: 

Đặt q là công bội của cấp cho số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở nên một cấp cho số nằm trong \Rightarrow x+3z=4y

Giải câu hỏi công thức cấp cho số nhân

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp cho số nhân

Phương pháp:

Để lần số hạng của cấp cho số nhân tớ dùng công thức tính số hạng tổng quát lác Un = U1.qn-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u1 và q  của cấp cho số nhân biết: 

\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72\\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix}\right.

Lời giải: 

Ta thay đổi đổi: 

\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 72\\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 144 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 72\\ u_{1}q^{2}(q^{2} - 1) = 144 \end{matrix}\right.

\Rightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \Rightarrow u_{1} = 12

Vậy cấp cho số nhân (un) đem u1 = 12 và q = 2

Ví dụ 2: Bài cho tới cấp cho số nhân (un) với u= 8 , u= 32. Số hạng loại 10 của cấp cho số nhân ê là? 

Lời giải: 

Gọi q là công bội của cấp cho số nhân (un), tớ đem q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2

Với q = 2, tớ đem u10 = u. q= 8 . 2= 1024

Với q = -2, tớ đem u10 = u. q7= 8 . (-2)= -1024

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân (un), hiểu được số hạng thứ nhất u= 3, công bội là 2. Hãy lần số hạng loại 5

Lời giải: 

Áp dụng công thức tớ đem : u= u. qn–1

\Leftrightarrow u= u. q=3 . 2= 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp cho số nhân của n số hạng thứ nhất nhập dãy

Ta dùng công thức:

Công thức tính tổng CSN của n số hạng thứ nhất nhập mặt hàng - công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng cấp cho số nhân:

S = 2 + 6 + 18 + 13122

Lời giải:

(un) đem u1=2 và q = 3. 

13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}

Ví dụ 2: Bài cho tới cấp cho số nhân (un) với

(un): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.

  1. 5 số hạng đầu của cấp cho số nhân bên trên là gì? 

  2. 10 số hạng đầu của cấp cho số nhân (un) bên trên đem tổng là bao nhiêu? 

Lời giải: 

Giải bài xích tập dượt vận dụng công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân Un thỏa mãn: u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}

  1. Dãy số là cấp cho số nhân là chính hoặc sai?

  2. Tính S = u+ u+ u6... + u20

Lời giải: 

  1. Ta có: \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const ko tùy thuộc vào n. Vậy mặt hàng số (Un) là một trong cấp cho số nhân với số hạng đầu u_{1}=3\sqrt{3} và công bội là q=\sqrt{3}

  2. Dãy số: u2, u4, u6,..., u20 lập trở nên một cấp cho số nhân với số hạng đầu là u= 9, q = 3 

\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác quyết định những bộ phận cấu trúc nên một cấp cho số nhân như: số hạng đầu U1, công bội q tiếp sau đó suy đi ra được công thức cho tới số hạng tổng quát lác .

Ví dụ 1: CSN (un) như sau, lần u1 khi:

u_{n} = \frac{2}{3^{n - 1}}

Mà u_{n} = \frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561 \Rightarrow n = 9

Lời giải: 

\left\{\begin{matrix} u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11}\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(1 + q + q^{2}) = \frac{32}{11}\\ u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.

\Rightarrow \frac{1 + q^{4}}{q(1 + q + q^{2})} = \frac{82}{39}

\Leftrightarrow Ta đem q = 3 hoặc q = \frac{1}{3}

Khi ê thứ tự lượt u_{1} = \frac{81}{11} hoặc u_{1} = \frac{1}{11}

Xem thêm: dấu ngoặc kép có tác dụng gì

Ví dụ 2: Dãy số này là cấp cho số nhân: 

  1. 1;0,2;0,04;0,008;...

  2. 1,22,222,2222,...

  3. X,2x,3x,4x,...

  4. 2,3,5,7,...

Lời giải: 

Xét đáp án A tớ có: 

u= 1, u= u. 0,2, u= u. (0,2)2, u= u. (0,2)3

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tớ minh chứng được u= (0,2)n

Khi ê \frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2 ko đổi

Vậy mặt hàng số là cấp cho số nhân đem công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải: 

Gọi cấp cho số nhân (un) cần thiết lần đem công bội q, số hạng thứ nhất un.

Ta có: s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}

s5' = u2 + u3 + u4 + u5 + u6

= u1q + u2q + u3q + u4q + u5q

= q . (u+ u+ u+ u+ u5)

= q . S5

Mà S= 31; S5' = 62

\Rightarrow q=2

u_{1}=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1

Vậy cấp cho số nhân (un) là 1;2;4;8;16;32

Nắm trọn vẹn kiến thức và kỹ năng và cách thức giải từng dạng bài xích tập dượt Toán trung học phổ thông với cỗ bí mật độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp cho số nhân (un) đem công bội q thỏa mãn nhu cầu -1 < q <1 thì cấp cho số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S= u1(1 - qn)(1 - q) = u1(q- 1)(q - 1)

 Trong ê sn là tổng n số hạng thứ nhất của cấp cho số nhân (un)

Ví dụ: \frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243} là một cấp cho số nhân lùi vô hạn q=\frac{1}{3}

5.2. Bài toán tổng của cấp cho số nhân lùi hạn

Đề bài xích cho tới cấp cho số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tớ đem tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Tính tổng 

S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...

Lời giải:

Đây là tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn với u_{1}=1, q=\frac{-1}{3} nên 

S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}

Ví dụ 2: Biểu biểu diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải: 

Ta có: 

0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}

Vậy 0,777...=\frac{7}{9}

Ví dụ 3: Tổng của một cấp cho số nhân lùi vô hạn là \frac{5}{3} tổng phụ vương số hạng thứ nhất của mặt hàng số là \frac{39}{25}. Xác quyết định (u1), q của cấp cho số đó?

Lời giải: 

Giải câu hỏi vận dụng công thức cấp cho số nhân

6. Một số bài xích tập dượt cấp cho số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cấp cho số nhân un đem công bội q

a) sành u= 2, u6 = 486. Tìm q

b) sành q= \frac{2}{3}, u_{4} = \frac{8}{21}. Tính u1

c) sành u1 = 3, q = -2. Xác quyết định số 192 là số hạng loại bao nhiêu nhập cấp cho số nhân?

Lời giải: 

Áp dụng công thức un = u1.qn-1

a) Theo công thức bên trên tớ có: u6 = u1.q5 \Rightarrow q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{486}{2} = 243 \Rightarrow q = 3

b) Theo công thức tớ có: u4 = u1.q3 \Rightarrow u_{1} = \frac{u_{4}}{q^{3}} = \frac{8}{21} . (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{7}

c) Theo công thức tớ có: 12 = 3.(-2)^{n - 1} \Rightarrow (-2)^{n - 1} = 64 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7

Vậy số 192 là số hạng loại 7

Câu 2: Tìm những số hạng của cấp cho số nhân (un) biết cấp cho số nhân bao gồm đem 5 số hạng và:

a) TH1: u= 3 , u= 27

b) TH2: u– u2 = 25 ,  u3 – u1 = 50

Lời giải: 

a) Theo công thức un = u1.qn - 1 ta đem theo thứ tự những số hạng u3 và u5 được tính như sau:

u3 = u1.q2 \Rightarrow 3 = u1.q2 (1)

u5 = u1.q4 \Rightarrow 27 = u1.q4 (2)

Từ (1) và (2) tớ hoàn toàn có thể suy đi ra được

q^{2} = \frac{u_{1}.q^{4}}{u_{1}.q^{2}} = 9 \Rightarrow q = \pm 3

Xét ngôi trường hợp:

Với q = 3 tớ đem u_{1} = \frac{1}{3} ta đem cấp cho số nhân theo thứ tự là: \frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27

Với q = -3 tớ đem u_{1} = -\frac{1}{3} ta đem cấp cho số nhân theo thứ tự là: \frac{1}{3}; -1; 3; -9; 27​​​​​​​​​​​​​​

b) Theo đề bài xích đi ra tớ có:

\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 25\\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 25\\ u_{1}q^{2} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 25 (1)\\ u_{1}(q^{2} - 1) = 50 (2) \end{matrix}\right.

Thay (2) nhập phương trình (1) tớ đem 50.q = 25 \Leftrightarrow q = \frac{1}{2}

\Rightarrow u_{1} = -\frac{200}{3}

Vậy tớ đem cấp cho số nhân như sau:

-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Tổng của 5 số hạng đầu vị 31, kể từ ê tớ suy ra:

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31

\Rightarrow u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q

\Rightarrow u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q (1)

mà tổng của 5 số hạng sau  vị 62 kể từ thách thức suy ra

u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q = 62

vậy q = 2

Vì S5 = 31 = \frac{u_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 1

Vậy tớ đem cấp cho số nhân theo dõi đề bài xích là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng số lượng dân sinh của tỉnh x là một trong,4%. sành rằng bên trên thời khắc tham khảo số dân của tỉnh lúc này là một trong,8 triệu con người, chất vấn với nút tăng bổng như thế thì sau 5 năm, 10 năm số nữa số lượng dân sinh của tỉnh ê là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh ê lúc này là N 

Sau 1 năm số lượng dân sinh tăng là một trong,4%N 

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này là n + 1,4%N = 101,4%N 

Số dân tỉnh ê sau từng năm lập trở nên một cấp cho số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; … 

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân) 

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài xích cho tới un đem những số hạng 0, tìm  u1 biết:

u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}. Mà u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9

Lời giải: 

Giải câu hỏi vận dụng công thức cấp cho số nhân

Tham khảo tức thì một trong những dạng bài xích tập dượt thương gặp gỡ về cấp cho số nhân được những thầy cô VUIHOC tổng hợp

PAS VUIHOCGIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng quãng thời gian học tập kể từ thất lạc gốc cho tới 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo dõi sở thích  

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô  

⭐ Học tới trường lại cho tới lúc nào hiểu bài xích thì thôi

⭐ Rèn tips tricks hùn tăng cường thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền nhập quy trình học tập tập

Đăng ký học tập test không lấy phí ngay!!

Xem thêm: soạn bài tính thống nhất về chủ đề của văn bản lớp 8

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cấp cho số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài xích tập dượt kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo nhằm học tập và ôn tập dượt kiến thức và kỹ năng Toán 11 phục vụ ôn đua trung học phổ thông QG tức thì kể từ thời điểm hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

  • Tổng hợp ý những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân & bài xích tập
  • Cấp số nằm trong là gì? Công thức cấp cho số nằm trong và bài xích tập
  • Xác suất của thay đổi cố
  • Giới hạn của mặt hàng số