r trong toán học là gì

Các số hữu tỉ (ℚ) được bao hàm trong số số thực (ℝ), trong những lúc bạn dạng thân thiết bọn chúng bao hàm những số vẹn toàn (ℤ), cho tới lượt nó bao hàm những số đương nhiên (ℕ)

Trong toán học tập, số hữu tỉ là những số x hoàn toàn có thể trình diễn bên dưới dạng phân số , nhập bại ab là những số vẹn toàn với b0.[1]

Tập thích hợp những số hữu tỉ[2], hoặc thường hay gọi là ngôi trường số hữu tỉ[3], ký hiệu là Q (chữ đậm) hoặc (chữ viền), Unicode 𝐐/ℚ.[4] Tên Q của tụ tập này được Giuseppe Peano dùng lượt thứ nhất như thể chữ viết lách tắt của quoziente, tức là tỷ trọng, và xuất hiện tại lần thứ nhất nhập cuốn sách Algèbre[5] của Bourbaki.

Bạn đang xem: r trong toán học là gì

Khai triển thập phân của một số trong những hữu tỉ kết thúc đẩy sau một số trong những hữu hạn chữ số (ví dụ: 3/4 = 0,75 hoặc thậm chí còn chính thức tái diễn một số trong những hữu hạn nằm trong mặt hàng những chữ số lặp cút tái diễn (ví dụ: 9/44 = 0,20454545...).[6] trái lại, ngẫu nhiên số thập phân tái diễn tuần trả hoặc kết thúc đẩy sau hữu hạn chữ số đều thay mặt đại diện mang lại một số trong những hữu tỉ. Các tuyên bố này đúng trong các cơ số 10 và vào cụ thể từng cơ số vẹn toàn không giống (ví dụ: nhị phân hoặc thập lục phân).

Một số thực ko cần là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.[7] Một số ví dụ của số vô tỉ bao hàm , π, eφ. Khai triển thập phân của một số trong những vô tỉ kéo dãn mãi tuy nhiên ko tái diễn. Vì tụ tập những số hữu tỉ là điểm được và tụ tập những số thực là ko điểm được nên hầu hết toàn bộ những số thực đều là số vô tỉ.[8]

Số hữu tỉ hoàn toàn có thể được khái niệm một cơ hội chủ yếu tắc là những lớp tương tự của những cặp số vẹn toàn (p, q) với q ≠ 0, dùng mối liên hệ tương tự được khái niệm như sau:

Phân số p/q Khi bại biểu thị lớp tương tự của (p, q).[9]

Số hữu tỉ cùng theo với luật lệ nằm trong và luật lệ tự tạo trở nên một ngôi trường nhập bại đem chứa chấp những số vẹn toàn, và được chứa chấp nhập ngẫu nhiên ngôi trường này đem chứa chấp những số vẹn toàn. Nói cách tiếp theo, ngôi trường số hữu tỉ là 1 ngôi trường yếu tố và một ngôi trường đem đặc thù là 0 nếu như và chỉ Khi nó chứa chấp những số hữu tỉ bên dưới dạng một ngôi trường con cái. Phần không ngừng mở rộng hữu hạn của Q được gọi là ngôi trường số đại số và phần đóng góp đại số của Q là ngôi trường số đại số.[10]

Trong giải tích toán học tập, những số hữu tỉ tạo nên trở nên một tập dượt con cái trù phú của những số thực. Các số thực hoàn toàn có thể được kiến thiết kể từ những số hữu tỉ bằng phương pháp hoàn thiện, dùng chuỗi Cauchy, hạn chế Dedekind hoặc những số thập phân vô hạn (để hiểu biết thêm, coi Xây dựng những số thực).

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Thuật ngữ hữu tỷ nhập thương hiệu của tụ tập Q nhắc đến thực tiễn rằng một số trong những hữu tỷ biểu thị một tỷ số của nhị số vẹn toàn. Tính kể từ hữu tỉ thỉnh thoảng Tức là những thông số là số hữu tỉ. Ví dụ, một điểm hữu tỉ là 1 điểm đem toạ phỏng hữu tỉ (tức là 1 điểm đem toạ phỏng là số hữu tỉ); một ma trận hữu tỉ là 1 yêu tinh trận của những số hữu tỉ; một đa thức hữu tỉ hoàn toàn có thể là 1 nhiều thức với những thông số hữu tỉ, tuy vậy thuật ngữ "đa thức bên trên những số hữu tỉ" thông thường được ưu tiên rộng lớn, nhằm tách lầm lẫn thân thiết " biểu thức hữu tỉ " và " hàm hữu tỉ" (đa thức là 1 biểu thức hữu tỉ và khái niệm một hàm hữu tỉ, trong cả Khi những thông số của chính nó ko cần là số hữu tỉ). Tuy nhiên, một đàng cong hữu tỷ không phải là 1 đàng cong được xác lập bên trên những số hữu tỷ, tuy nhiên là 1 đàng cong hoàn toàn có thể được thông số hóa bởi vì những hàm hữu tỷ.[cần dẫn nguồn]

Từ vẹn toàn này tương tự động như kể từ vẹn toàn của số ảo và số thực.

Số học[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số tối giản[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ hoàn toàn có thể được trình diễn theo dõi một cơ hội độc nhất bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập bại ab là những số yếu tố cùng với nhau và b > 0. Đây thông thường được gọi là dạng đúng đắn của số hữu tỉ.

Bắt đầu kể từ một số trong những hữu tỉ a/b, dạng đúng đắn của chính nó hoàn toàn có thể cảm nhận được bằng phương pháp phân chia ab mang lại ước cộng đồng lớn số 1 của bọn chúng, và nếu như b < 0, thay cho thay đổi lốt của tử số và khuôn số.

Nhúng những số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số vẹn toàn n hoàn toàn có thể được trình diễn bên dưới dạng số hữu tỉ n/1, là dạng chủ yếu tắc của chính nó bên dưới dạng một số trong những hữu tỉ.

Đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Khi và chỉ Khi

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thì:

Khi và chỉ Khi [9]

Thứ tự[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu cả nhị khuôn số đều dương (đặc biệt nếu như cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc):

Khi và chỉ Khi

Mặt không giống, nếu như 1 trong những nhị khuôn số là âm, thì trước tiên từng phân số đem khuôn số âm cần được đem trở nên dạng tương tự với khuôn số dương — bằng phương pháp thay đổi lốt của tất cả tử số và khuôn số của chính nó.[9]

Phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nằm trong như sau:

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thành phẩm tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Khi và chỉ Khi bd là những số yếu tố cùng với nhau.[9][11]

Phép trừ[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được trừ như sau:

tùy nhập những ngôi trường hợp

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thành phẩm tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Khi và chỉ Khi bd là những số yếu tố cùng với nhau.[9]

Phép nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nhân như sau:

trong bại thành phẩm hoàn toàn có thể là 1 phân số hoàn toàn có thể rút gọn gàng — trong cả Khi cả nhị phân số thuở đầu đều ở dạng chủ yếu tắc.[9][11]

Nghịch hòn đảo luật lệ nằm trong và luật lệ nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ a/b mang trong mình một nghịch tặc hòn đảo luật lệ nằm trong, thông thường được gọi là số đối của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì số đối của chính nó cũng ở dạng này.

Một số hữu tỉ không giống ko a/b đem nghịch tặc hòn đảo luật lệ nhân, thường hay gọi là nghịch đảo của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì dạng chủ yếu tắc của nghịch tặc hòn đảo của chính nó là b/a hoặc b/a, tùy thuộc vào lốt của a.[cần dẫn nguồn]

Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu b, cd không giống ko, quy tắc phân chia là

Như vậy, phân chia a/b mang lại c/d tương tự với nhân a/b với nghịch tặc hòn đảo của c/d:

[12]

Lũy quá với số nón nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu n là một số trong những vẹn toàn ko âm, thì

Kết ngược ở dạng chuẩn chỉnh tắc nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc. điều đặc biệt,

Xem thêm: tính thể tích hình tròn

Nếu a ≠ 0, thì

Nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc, dạng chuẩn chỉnh tắc của thành phẩm là bn/an nếu như a > 0 hoặc n chẵn. Nếu ko, dạng chuẩn chỉnh tắc của thành phẩm là bn/an.

Biểu diễn[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu trình diễn nhập hệ thập phân và những hệ cơ số khác[sửa | sửa mã nguồn]

Khi trình diễn số hữu tỉ theo dõi hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ hoàn toàn có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần trả và ngược lại.

Một phân số tối giản với khuôn dương và khuôn không tồn tại ước yếu tố này ngoài 2 và 5 thì phân số bại viết lách được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

VD: phân số đem khuôn số là không tồn tại ước yếu tố này không giống 5 nên hoàn toàn có thể viết lách được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

Một phân số tối giản với khuôn dương và khuôn đem tối thiểu 1 ước yếu tố không giống 2 và 5 thì phân số bại viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: phân số đem khuôn số là 7 nên được viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 2: phân số đem khuôn số là 17 nên được viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Dãy những chữ số tái diễn nhập trình diễn thập phân của những số thập phân vô hạn tuần trả được gọi là chu kỳ luân hồi, và số những chữ số nhập chu kỳ luân hồi này hoàn toàn có thể chứng tỏ được rằng ko vượt lên quá |b|.

Một cơ hội tổng quát tháo, nhập một hệ cơ số ngẫu nhiên, những chữ số sau lốt phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần trả.

Biểu trình diễn bởi vì liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Một liên phân số hữu hạn là 1 biểu thức ví dụ điển hình như

trong bại an là những số vẹn toàn. Mọi số hữu tỉ a/b hoàn toàn có thể được trình diễn bên dưới dạng một liên phân số hữu hạn, tuy nhiên thông số an hoàn toàn có thể được xác lập bằng phương pháp vận dụng thuật toán Euclide mang lại (a, b).

Xây dựng tập dượt những số hữu tỉ kể từ tập dượt số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu loại thể hiện tại sự trình diễn những lớp tương tự của những cặp số nguyên

Trong toán học tập văn minh, người tao kiến thiết tụ tập những số hữu tỉ như ngôi trường những thương của .

Xét tập dượt tích Decaters:

=

Trên bại xác lập một mối liên hệ tương đương:

lớp tương tự của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a mang lại b:

Tập những lớp này (tập thương) được gọi là tập dượt những số hữu tỷ và ký hiệu là . Trên tập dượt khái niệm những luật lệ toán:

Khi bại nếu

thì ;
.

Do bại những luật lệ toán bên trên hoàn toàn có thể được đem sang trọng trở nên những luật lệ toán bên trên tập dượt những lớp tương tự phát biểu bên trên, tức là tập dượt .

Để coi là phần tử của tao nhúng nhập nhờ đơn ánh cho từng số vẹn toàn n ứng với lớp n/1 nhập .\

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Minh họa về tính chất hoàn toàn có thể điểm được của những số hữu tỷ dương

Tập thích hợp Z của toàn bộ những số hữu tỉ, cùng theo với những luật lệ toán nằm trong và nhân được trình diễn phía trên, tạo nên trở nên một ngôi trường.[9]

Z không tồn tại luật lệ tự động đẳng cấu này ngoài độ quý hiếm đơn vị chức năng.

Với trật tự được khái niệm phía trên, Z là ngôi trường đem loại tự[11] không tồn tại ngôi trường con cái này không giống ngoài chủ yếu nó, và là ngôi trường đem trật tự nhỏ nhất, theo dõi tức là từng ngôi trường đem trật tự đều có một ngôi trường con cái độc nhất đẳng cấu với Z.

Z là ngôi trường phân số của tụ tập những số vẹn toàn Q.[13] Tính đóng góp đại số của Q, tức là ngôi trường của những nghiệm của những nhiều thức hữu tỷ, là ngôi trường của những số đại số.[cần dẫn nguồn]

Tập thích hợp toàn bộ những số hữu tỉ hoàn toàn có thể điểm được (xem hình vẽ), trong những lúc tụ tập toàn bộ những số thực (cũng như tụ tập những số vô tỉ) là ko điểm được. cũng có thể điểm được, tụ tập những số hữu tỉ là tụ tập trống rỗng, tức là đa số toàn bộ những số thực đều vô tỉ, theo dõi nghĩa của phỏng đo Lebesgue.[cần dẫn nguồn]

Số hữu tỷ là 1 tụ tập đem trật tự động trù mật: thân thiết nhị số hữu tỷ ngẫu nhiên, đem một số trong những hữu tỷ không giống, và vì thế, đem vô số số hữu tỷ không giống thân thiết bọn chúng.[9] Ví dụ, so với nhị phân số ngẫu nhiên thỏa mãn

(với đều dương), tao có

Bất kỳ tụ tập đem trật tự trọn vẹn này hoàn toàn có thể điểm được, trù phú (theo nghĩa trên) và không tồn tại thành phần nhỏ nhất hoặc lớn số 1 này là đẳng cấu trật tự với tụ tập những số hữu tỉ.[14]

Với số thực và đặc điểm pô[sửa | sửa mã nguồn]

Số hữu tỉ là 1 tập dượt con cái trù phú của những số thực: từng số thực đều phải sở hữu những số hữu tỉ sát nó một cơ hội tùy ý.[9] Một đặc điểm tương quan là số hữu tỉ là số độc nhất đem không ngừng mở rộng hữu hạn bên dưới dạng liên phân số thường thì.

Theo trật tự của bọn chúng, những số hữu tỷ mang trong mình một cấu hình links trật tự động. Các số hữu tỉ, như 1 không khí con cái của những số thực, cũng có thể có một cấu hình links không khí con cái. Các số hữu tỉ tạo nên trở nên một không khí số liệu bằng phương pháp dùng metric chênh nghiêng vô cùng d(x, y) = | xy |, và điều này tạo nên một cấu hình links loại tía bên trên Q. Tất cả tía cấu hình links trùng khớp và biến hóa những hợp lí trở nên một ngôi trường tôpô. Các số hữu tỉ là 1 ví dụ cần thiết của một không khí ko cần là không lịch kịch toàn cục. Các hợp lí được đặc thù về mặt mũi cấu hình links là không khí hoàn toàn có thể điểm được độc nhất tuy nhiên không tồn tại điểm xa lánh. Không gian ngoan này cũng trọn vẹn bị ngắt liên kết. Các số hữu tỉ ko tạo nên trở nên một không khí số liệu trả chỉnh  ; những số thực là việc hoàn thiện của Q theo dõi metric d(x, y) = | xy | bên trên.[11]

Số p-adic[sửa | sửa mã nguồn]

Ngoài metric độ quý hiếm vô cùng được phát biểu phía trên, đem những số liệu không giống biến hóa Q trở nên một ngôi trường tô pô liên kết:

Cho p là một số trong những yếu tố và với từng số vẹn toàn không giống ko a, mang lại | a |p = pn, nhập bại pn là lũy quá tối đa của p phân chia không còn a.

Xem thêm: soạn bài trợ từ thán từ lớp 8

Ngoài rời khỏi tao bịa | 0 |p = 0. Đối với ngẫu nhiên số hữu tỉ a/b, tao bịa | a/b |p = | a |p/| b |p .

Khi bại dp(x, y) = | xy |p xác lập một metric bên trên Q[15]

Không gian ngoan metric (Q, dp) ko hoàn hảo và phần hoàn thiện của chính nó là ngôi trường số p -adic Qp. Định lý Ostrowski tuyên bố rằng ngẫu nhiên độ quý hiếm vô cùng ko tầm thông thường này bên trên số hữu tỉ Q đều tương tự với độ quý hiếm vô cùng thực thường thì hoặc độ quý hiếm vô cùng p -adic.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số vẹn toàn tố
  • Số nguyên
  • Số tự động nhiên
  • Số vô tỉ
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (ấn bạn dạng 6). Thành Phố New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
  2. ^ Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics . Courier Corporation. tr. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382
  3. ^ Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. tr. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104
  4. ^ Rouse, Margaret. “Mathematical Symbols”. Truy cập ngày một tháng tư năm 2015.
  5. ^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  6. ^ “Rational number”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  7. ^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  8. ^ Rosen, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications (ấn bạn dạng 6). Thành Phố New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
  9. ^ a b c d e f g h i Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. tr. 75–78. ISBN 978-0-19-871369-2.
  10. ^ Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (ấn bạn dạng 6). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. tr. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
  11. ^ a b c d “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
  12. ^ “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
  13. ^ Bourbaki, N. (2003). Algebra II: Chapters 4 - 7. Springer Science & Business Media. tr. A.VII.5.
  14. ^ (Bản report kỹ thuật).
  15. ^ Weisstein, Eric W. “p-adic Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số hữu tỉ bên trên MathWorld.